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Los Números naturales Definición y Concepto

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Los Números naturales

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Los números naturales

Los número naturales se denomina como a aquellos números que permite contar los elementos de un conjunto. El 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… son números naturales. Cabe destacarse que estos fueron el primer conjunto de números que utilizaron los seres humanos para contar los objetos.

Este tipo de números es ilimitado, es decir, siempre que se le sume el número uno a uno dará paso a un número distinto.

Empleo de esto:

Los dos grandes empleos de los números naturales son, por un lado, para indicar el tamaño que presenta un conjunto finito, y por otra parte, para dar cuenta de la posición que un elemento dado tiene en el marco de una secuencia ordenada.

También, los números naturales, a instancias de un grupo, nos permiten identificar o bien diferenciar a aquellos elementos presentes en el mismo. Por ejemplo, en una obra social, cada afiliado dispondrá de un número de socio que lo singularizará respecto del resto y que permitirá no ser confundido con otro y tener un acceso directo a todos los detalles inherentes a su atención.

Hay quienes consideran al 0 como un número natural pero también hay quienes no y lo apartan de este grupo, la teoría de los conjuntos lo avala mientras que la teoría de los números lo excluye. A los números naturales se los podrá representar en una línea recta y se los ordenará de menor a mayor, por ejemplo, si se toma en cuenta al cero, se los comenzará a anotar después de este y a la derecha del 0 o del 1.

Pero los números naturales pertenecen a un conjunto que los congrega, el de los números enteros positivos y esto es porque no son decimales ni fraccionarios.

Ahora bien, en lo que respecta a las operaciones aritméticas básicas, suma, resta, división y multiplicación es importante señalar que los números que nos ocupan son un conjunto cerrado para las operaciones de suma y de multiplicación, dado que al operar con ellas, el resultado que arroje siempre será otro número natural. Por ejemplo: 3 x 4 = 12 / 20 + 13 = 33.

Mientras tanto, esta misma situación no se aplica a las otras dos operaciones de la división y la resta, ya que el resultado no será un número natural, por ejemplo: 7 – 20 = -13 / 4/7 = 0,57.

Con origen en el latín numĕrus, el concepto de números hace referencia a los signos o conjunto de signos que permiten expresar una cantidad con relación a su unidad. Existen distintos grupos de números, como los números enteros, los números reales y otros.

Cuales son los números naturales

LOs numeros naturales
LOs numeros naturales

Los números naturales son aquellos que permiten contar los elementos de un conjunto. Se trata del primer conjunto de números que fue utilizado por los seres humanos para contar objetos. Uno (1), dos (2), cinco (5) y nueve (9), por ejemplo, son números naturales.

Diferentes teorías

Existe una controversia respecto a considerar al cero (0) como un número natural. Por lo general, la Teoría de Conjuntos incluye al cero dentro de este grupo, mientras que la Teoría de Números prefiere excluirlo.

Podría decirse que los números naturales tienen dos grandes usos: se utilizan para especificar el tamaño de un conjunto finito y para describir qué posición ocupa un elemento dentro de una secuencia ordenada.

No obstante, además de esas dos grandes funciones citadas, con los números naturales también podemos llevar a cabo lo que es tanto la identificación como la diferenciación de los diversos elementos que forman parte de un mismo grupo o conjunto. Así, por ejemplo, dentro de un club de fútbol cada socio cuenta con un número que le distingue del resto. Como muestra de ello serviría la frase siguiente: “Manuel es el socio número 3.250 del Fútbol Club Barcelona”.

Además de lo expuesto no podemos pasar por alto el hecho de que una de las principales señas de identidad o características que definen a los citados números naturales es el hecho de que los mismos están ordenados. De esta manera, gracias a dicho orden se pueden comparar los números entre sí. Así, por ejemplo, podríamos subrayar en ese sentido que el 8 es mayor que el 3 o que el 1 es menor que el 6.

De la misma forma, otra de las cualidades que diferencian a los citados números que nos ocupan es el hecho de que son ilimitados. Eso lo que significa es que siempre que le sume el 1 a uno de ellos nos dará lugar a otro número natural absolutamente diferente.

Por todo ello, nos encontramos con el hecho de que estos números se pueden representar en una línea recta y siempre se ordenan de menor a mayor. Así, una vez que señalemos en aquella el 0 procederemos a establecer el resto de número (1, 2, 3…) a la derecha de aquel.

Los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros positivos: no tienen decimales, no son fraccionarios y se encuentran a la derecha del cero en la recta real. Son infinitos, ya que incluyen a todos los elementos de una sucesión (1, 2, 3, 4, 5…).

Sin embargo, los números naturales constituyen un conjunto cerrado para las operaciones de suma y multiplicación ya que, al operar con cualquiera de sus elementos, el resultado siempre será un número natural: 5+4=9, 8×4=32. No ocurre lo mismo, en cambio, con la resta (5-12= -7) o con la división (4/3=1,33).

Historia De los números naturales

Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el hombre usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos (ver sistema de numeración unario).

Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor del año 4000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en forma de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado.

De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua Roma, además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.

Richard Dedekind

Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard Dedekind en el siglo XIX.

Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden, resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes.

Lamentablemente la teoría de Frege perdió, por así decirlo, su credibilidad, y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del axioma de infinitud, que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de números naturales como ordinales según von Neumann.

Algunas características de los números naturales son:

Todo número mayor que 1 (o mayor que 0 en caso de considerar el 0 como natural) va después de otro número natural.

Entre dos números naturales siempre hay un número finito de naturales (interpretación de conjunto no denso).
Dado un número natural cualquiera, siempre existe otro natural mayor que este (interpretación de conjunto infinito).
Entre el número natural {\displaystyle a} a y su sucesor {\displaystyle a+1} a+1 no existe ningún número natural.

Operaciones con los números naturales

Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación. La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:

El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a + b = b + a, y a × b = b × a.
Para sumar —o multiplicar— tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera específica ya que (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a + b + c.

Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa de la forma:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:

Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números naturales. Esta fácil como contar los animales.

Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.
No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a × b = 0, entonces a = 0 o b = 0.

Para negociar y ordenar cosas, el hombre tuvo la necesidad de representar las cantidades de lo que tenía para saber con qué contaba exactamente. De ahí surgió la necesidad de crear símbolos que representaran esas cantidades.

Por ejemplo, si alguien sabía cuántas gallinas tenía, podría establecer del mismo modo la cantidad de días que podría alimentar a su familia. Cinco gallinas para consumir en igual número de días.

¿Sabias?

A partir de esta necesidad el hombre crea lo que hoy conocemos como números naturales.

Estos son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.

Debido a la importancia de este conjunto de números se creó un símbolo especial para identificarlo, usaremos la letra para representar el conjunto de los números naturales; así, cuando veas esta en un libro de matemáticas, o en alguna clase, sabrás a qué se refiere.

¿Te has preguntado cuál es el último número natural?  No hay, sencillamente no existe un número natural que sea más grande que todos los demás, cada vez que pienses en uno, podrás encontrar muchos que sean mayores que él, como no terminan nunca, decimos que es un conjunto infinito.

Por ejemplo, intenta restar 3 menos 8,  ¿crees que es posible representar el resultado de esta operación con algún número natural?  Debido a lo anterior consideramos sobre el conjunto de los números naturales solo dos operaciones: la suma y la multiplicación.  Si quieres aprender más sobre ellas visita nuestros cursos Suma y Multiplicación.

Los números naturales son aquellos que nos permiten contar los elementos de un determinado conjunto. Gracias a esto, cuando realizamos operaciones con ellos, los resultados pueden ser o no números naturales.

Si sumamos dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural. Lo mismo ocurre cuando multiplicamos, pero cuando restamos dos de esto el resultado no siempre será otro,  lo mismo ocurre con la división.

Por ejemplo, intenta restar
3
3 menos
8
8,

¿crees que es posible representar el resultado de esta operación con algún número natural? Debido a lo anterior consideramos sobre el conjunto de los números naturales solo dos operaciones: la suma y la multiplicación.

El primer numero natural

 Como hemos dicho que los naturales son los números sirven para representar la cantidad de elementos que tiene un determinado conjunto, tomaremos el conjunto de los naturales o a partir del0, pues este número representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto vacío.
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Los número naturales se denomina como a aquellos números que permite contar los elementos de un conjunto. El 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8… son números naturales. Cabe destacarse que estos fueron el primer conjunto de números que utilizaron los seres humanos para contar los objetos.
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